Kui oled kunagi õppinud Mesopotaamia ajalugu, siis oled kindlasti kokku puutunud ka babüloonlastega. Tänapäeva Iraani ja Iraagi aladel kujunenud tsivilisatsiooni peetakse sageli üheks varaseks linnakultuuri näiteks. Selle üle võib arutleda, kuid Babüloonia mõju poliitikale, ajalookäsitlusele ja eriti matemaatikale on kaheldamatu.
Babüloonia numbrite süsteem aitab paremini mõista ka tänapäevast arvutamist. Nende kasutatud seksagesimaalsüsteem ehk kuuekümnendsüsteem ning kiilkirjas talletatud märgid annavad vihjeid sellele, kuidas on kujunenud meie praegune arusaam arvudest ja arvutamisest.
Miks on ajamõõtmises ühes minutis 60 sekundit või miks null paikneb arvude reas just sellisel viisil, nagu me sellega harjunud oleme? Need küsimused viivad tagasi Babüloonia matemaatilise mõttemaailma juurde. Tegemist ei ole juhuslike kokkulepetega, vaid pikaajalise arengu ja katsetamise tulemusega.
Järgnevalt vaatame lähemalt selle iidse tsivilisatsiooni matemaatilist pärandit ning uurime, kuidas babüloonia savitahvlid, kiilkiri ja arvusüsteem on mõjutanud maailma, milles me täna elame.
Babüloonia tsivilisatsiooni ajalugu
Mesopotaamia oli muistne piirkond, mis hõlmas alasid tänapäeva Türgi, Süüria, Iraani, Iraagi ja Kuveidi territooriumil. See kujunes välja Tigrise ja Eufrati jõgede vahel ning on paljudele tuttav ka Viljaka Poolkuu nime all. Just siin tekkisid ühed varaseimad organiseeritud ühiskonnad inimajaloos.
Viljakas Poolkuu on ajalooline piirkond Lähis-Idas, mis ulatub Egiptusest läbi Levandi kuni Mesopotaamiani ning hõlmab Tigrise ja Eufrati jõe orud. Nimetus tuleneb piirkonna kaarjast kujust ja viljakast pinnasest, mis soodustas varajase põllumajanduse ning püsiasustuse teket.
Kuigi Mesopotaamia ja Vana-Egiptuse matemaatilised süsteemid erinevad esmapilgul märgatavalt tänapäevastest, panid just need tsivilisatsioonid aluse matemaatikale sellisel kujul, nagu me seda nüüd tunneme. Arvutamine ei olnud üksnes teoreetiline tegevus, vaid tihedalt seotud igapäevaste vajadustega.
Ajalooallikate põhjal algas Mesopotaamia tsivilisatsioon umbes 3100. aasta paiku eKr ning selle lõppu tähistab Babüloni langemine 539. aastal eKr. Selle piirkonna elanikke nimetatakse sageli üldistavalt babüloonlasteks, kuigi tegelikult elasid seal mitmed rahvad.
Mesopotaamia aladel tegutsesid ajalooliselt muu hulgas:
- ubaidlased, kelle ajal arenesid püsiasulad, savinõude valmistamine ning niisutussüsteemid, mis lõid eeldused linnastumiseks.
- sumerid, keda peetakse piirkonna varaseimaks kõrgkultuuriks ning kiilkirja ja organiseeritud linnriikide rajajateks.
- akadid, kes ühendasid sumerite alad esimeseks suuremaks impeeriumiks ja aitasid levitada nende teadmisi.
- babüloonlased, kelle ajal arenesid edasi seadusandlus, astronoomia ja matemaatika.
- assüürlased, tuntud oma sõjalise jõu ja haldusliku korralduse poolest.
Suur osa nende teadmistest ja igapäevastest arvestustest on säilinud tänu savitahvlitele, kuhu kanti nii majanduslikke tehinguid kui ka matemaatilisi ülesandeid. Need leiud annavad väärtusliku ülevaate probleemidest, millega inimesed tollal kokku puutusid, ning viisidest, kuidas neid lahendati.
Nagu paljude teistegi muistsete kultuuride puhul, leiab ka Mesopotaamia allikatest matemaatilisi ideid, mida peame tänapäeval elementaarseks. Säilinud tahvlid sisaldavad ruut- ja kuupvõrrandeid ning seoseid, mida tunneme Pythagorase teoreemina. See kinnitab, et matemaatiline mõtlemine oli Babüloonias süsteemne ja oma aja kohta märkimisväärselt arenenud.
Positsiooniline arvusüsteem
Et mõista, millist arvusüsteemi Babüloonia aladel kasutati, tasub alustada hoopis sellest, kuidas me tänapäeval arvutame. Kaasaegne matemaatika põhineb positsioonilisel arvusüsteemil. Nimi võib kõlada keeruliselt, kuid põhimõte ise on üsna lihtne.
Positsioonilised numbrid on arvud nullist üheksani. Kasutame vaid kümmet sümbolit (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), kuid nende erinevad kombinatsioonid võimaldavad kirjutada lõpmatu hulga arve. Oluline ei ole ainult sümbol ise, vaid ka see, kus see arvus paikneb.
Numbrid kirjutatakse ja loetakse vasakult paremale ning iga positsioon vastab kindlale väärtusele.
| Sümbol | Positsioon | Tähendus |
|---|---|---|
| 2 | Ühelised | 2 x 1 |
| 20 | Kümnelised | 2 x 10 |
| 200 | Sajalised | 2 x 100 |
| 2000 | Tuhandelised | 2 x 1000 |
Nagu tabelist näha, muudab numbri asukoht selle väärtust märgatavalt. Näiteks me ei saa number kahte lihtsalt paigutada suvalisele kohale, näiteks arvu keskele kujul 020 ja lugeda seda 200-na. See põhimõte defineeribki positsioonilise arvusüsteemi.
Babüloonia numbrite süsteem ei olnud algselt positsiooniline. Umbes 3500. aasta paiku eKr kasutasid sumerid süsteemi, kus iga arv oli tähistatud eraldi sümboliga. Neil olid märgid arvudele 1, 10, 100 ja 1000, mis tähendas, et 9999-st suuremat arvu ei olnud võimalik kirjutada.
Sarnaselt paljudele teistele muistsetele kultuuridele puudus neil algselt nulli tähis. Arv 1 kujutati taskulampi meenutava märgina, 10 noolelaadse sümbolina ja nii edasi. Sümbolite järjestus ei olnud oluline, kuna iga väärtus oli omaette märgiga tähistatud. Seetõttu oli tegemist mittepositsioonilise süsteemiga.
Sellisel lähenemisel oli aga mitmeid piiranguid. Aja jooksul tehti arvusüsteemis olulisi muudatusi. Sumerite ja hilisemate babüloonlaste matemaatika arenes positsiooniliseks, kuid kümnendsüsteemi asemel valiti aluseks hoopis arv 60.
Selle kuuekümnendsüsteemi ehk seksagesimaalsüsteemi pärand elab edasi ka tänapäeval. Kasutame endiselt 60 sekundit minutis, 60 minutit tunnis ja 360 kraadi täisringis. Need jaotused pärinevad otseselt Babüloonia matemaatikast.
Kuuekümnendsüsteemis olid eraldi sümbolid arvudele 1 kuni 59. Kuna süsteem oli positsiooniline, määras sümboli asukoht selle väärtuse.
Arv 60 osutus alusarvuna väga praktiliseks, kuna see jaguneb paljude arvudega ehk tal on mitu tegurit. See tegi murdude kasutamise ja arvutamise märksa lihtsamaks kui näiteks kümnendsüsteemis.
| Alus | Tegurid |
|---|---|
| 60 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 |
| 10 | 1, 2, 5, 10 |
Just sellised matemaatilised ideed on talletunud babüloonia savitahvlid, mis annavad tänapäeval haruldase ja väärtusliku ülevaate muistsete arvutamisviiside arengust.
Matemaatika muistsetel savitahvlitel
Erinevalt Muinas-Egiptuse matemaatikast, millest on säilinud võrdlemisi vähe kirjalikke allikaid, teame sumerite ja babüloonlaste arvutamisviisidest märksa rohkem. Kui egiptlased kasutasid arvutuste ja märkmete talletamiseks peamiselt papüürust, siis Mesopotaamias kanti teadmised savitahvlitele. See materjalivalik on võimaldanud suurel osal nende matemaatilisest pärandist säilida tänapäevani.
Arvud, murrud ja muud märgid vajutati pehme savi sisse ning tahvlid kuivatati seejärel kas ahjus või päikese käes. Selline meetod osutus üllatavalt vastupidavaks ning võimaldas savitahvlitel säilida tuhandeid aastaid.
Arheoloogid on leidnud ligikaudu 400 matemaatilise sisuga tahvlit, millest enamik pärineb nn Vana-Babüloonia perioodist ajavahemikust umbes 1830–1531 eKr. Need babüloonia savitahvlid pakuvad haruldast ja detailset sissevaadet muistsete inimeste igapäevastesse arvutustesse ning probleemidesse, mida tuli lahendada põllumajanduses, ehituses ja kaubanduses.
Kirjutamiseks kasutati kiilkirja, mida iseloomustavad kiilukujulised märgid. Kiilkiri kuulub koos Egiptuse hieroglüüfidega maailma varaseimate kirjasüsteemide hulka. Selle kuju ei olnud juhuslik. Kaarjate joonte loomine pehmele savipinnale oli keeruline, mistõttu kujunesid märgid sirgetest ja nurksetest vajutustest.
Kiilkiri erineb seetõttu märgatavalt Egiptuse hieroglüüfidest, mis on visuaalselt pildilisemad ja detailsemad. Võrdluseks võib tuua ka Hiina varase kirjasüsteemi, kus matemaatikas kasutati logogramme, mis esindasid sõnu või tähenduslikke üksusi kindla struktuuri alusel. Egiptuse hieroglüüfid ühendasid seevastu logogramme, foneetilisi märke ja tähendusmäärajaid, luues keerukama ja visuaalselt rikkama süsteemi.
Säilinud savitahvlitelt on leitud mitmeid matemaatilisi põhimõtteid, mida peame oluliseks ka tänapäeval. Nende hulka kuuluvad murrud, ruut- ja kuupvõrrandid ning seosed, mis vastavad Pythagorase teoreemile. See kinnitab, et Babüloonia matemaatika ei olnud üksnes praktiline töövahend, vaid tugines läbimõeldud ja loogilisele mõtteviisile.
Babüloonia ruutude tabel
Tänapäeval on kümne ja isegi saja piires ruutude peast arvutamine enamiku jaoks tuttav juba kooliajast. Sumerite ja babüloonlaste jaoks ei olnud see aga sugugi nii lihtne. Nende arvusüsteem kasutas keerukamaid märke ja reegleid, mis sundis otsima praktilisemaid lahendusi keerukamate arvutuste jaoks.
Kuna babüloonia numbrite süsteem põhines alusel 60, osutus isegi mõne tänapäeval lihtsana tunduva tehte sooritamine ajamahukaks. Lisaks puudusid nende süsteemis kümnendkohad ning kasutati ainult täisarve. Sellistes tingimustes ei olnud kõigi vajalike arvutuste meelespidamine realistlik. Lahenduseks kujunesid ruutude tabelid, kuhu kanti süstemaatiliselt kirja olulised väärtused ja seosed.
1877. aastal uuris saksa egüptoloog Richard Lepsius kahte savitahvlit ning ta tuvastas, et need sisaldasid ruutude ja kuupide tabeleid. Hiljem kinnitasid seda tõlgendust ka George Rawlinson ja George Smith. Need leiud pakkusid väärtuslikku teavet selle kohta, kuidas sumerid ja babüloonlased matemaatikat kasutasid ning milliseid meetodeid nad eelistasid.
Pythagorase kolmikud
Täisnurkne kolmnurk ja selle eripära pakkus huvi nii Muinas-Egiptuse kui ka Antiik-Kreeka matemaatikutele. Babüloonia matemaatikud kasutasid neid juba sajandeid varem ning tegid seda süstemaatiliselt ja praktilisel eesmärgil. Selle kohta on säilinud kaks eriti olulist savitahvlit, mis annavad otsese tõendi nn Pythagorase kolmikute kasutamisest Mesopotaamias.
Need leiud näitavad, et täisarvulisi kolmikuid, mis vastavad seosele, mida tänapäeval nimetame Pythagorase teoreemiks, ei tuntud üksnes teoreetilise ideena. Neid rakendati mõõdistamises, planeerimises ja täisnurkade konstrueerimisel.
Plimpton 322 on Babüloonia savitahvel umbes aastast 1800 eKr. See sisaldab tabelit täisarvuliste Pythagorase kolmikute kohta, mis vastavad täisnurkse kolmnurga arvulistele seostele.
Si.427 on Babüloonia savitahvel, mis demonstreerib Pythagorase kolmikute kasutamist täisnurkade konstrueerimisel.
Tahvlit seostatakse maa mõõdistamise ja planeerimisega ning see näitab geomeetria praktilist rakendamist Babüloonias.
Üks kuulsamaid Babüloonia matemaatilisi savitahvleid on Plimpton 322, mis pärineb ligikaudu 1800. aastast eKr. Tahvlile on kiilkirjas kantud matemaatiline tabel, mille iga rida vastab täisarvulisele kolmikule, mis rahuldab täisnurkse kolmnurga arvulist seost.
Plimpton 322 ei esita Pythagorase teoreemi sõnastatud kujul ega sisalda formaalset tõestust. Selle asemel näitab tahvel, et Babüloonia matemaatikud oskasid selliseid seoseid arvutada, järjestada ja tabelina kasutada. See viitab arenenud arvutamisoskusele ning süstemaatilisele lähenemisele geomeetriale.
Oluline on ka ajastus. Plimpton 322 loodi ligikaudu 13–15 sajandit enne Kreeka geomeetria klassikalist perioodi. See näitab, et täisnurkse kolmnurga seosed olid Mesopotaamias teada ammu enne Pythagorast.
Teine sama oluline leid on savitahvel Si.427, mis näitab Pythagorase kolmikute praktilist kasutamist. Kui Plimpton 322 keskendub arvulistele seostele, siis Si.427 demonstreerib, kuidas neid teadmisi rakendati täisnurkade konstrueerimisel.
Tahvel sisaldab jooniseid ja kiilkirjas märke, mis viitavad maa mõõdistamisele ja piiride määramisele. Täisnurksed kolmnurgad olid sellistes olukordades hädavajalikud, sest need võimaldasid luua täpseid nurki hoonete, põldude ja teede planeerimisel.
Si.427 näitab, et Babüloonia matemaatika ei olnud pelgalt tabelite koostamine. Arvulised seosed olid otseselt seotud ruumilise mõtlemise ja inseneritööga. Täisnurk ei olnud abstraktne mõiste, vaid praktiline töövahend.
Iidne Babüloonia matemaatika, mis elab edasi
Babüloonia numbrite süsteem näitab selgelt, et paljud tänapäeval iseenesestmõistetavad arvutamisviisid ei sündinud üleöö. Sekstsageesimaalne arvusüsteem, positsiooniline märgistus, kiilkiri ja savitahvlitele talletatud tabelid moodustasid tervikliku teadmiste süsteemi, mis vastas oma aja praktilistele vajadustele.
Babüloonia savitahvlid annavad haruldase võimaluse jälgida, kuidas matemaatiline mõtlemine arenes samm-sammult. Ruutude tabelid ja Pythagorase kolmikud näitavad, et keerulisi seoseid osati kasutada ilma tänapäevase sümbolkeele või valemiteta. Oluline oli tulemus ja selle rakendatavus, mitte teoreetiline tõestus sellisel kujul, nagu me seda nüüd tunneme.
Kui sageli seostatakse matemaatika ajalugu eelkõige Vana-Kreekaga, siis Babüloonia näide annab kinnitust, et paljud aluspõhimõtted kujunesid tegelikult välja juba varem. Sumerite kultuur ja sellele järgnenud tsivilisatsioonid lõid vundamendi, millele hilisem teadus sai toetuda.
Tänapäevane arvutamine, ajamõõtmine ja geomeetria kannavad endas endiselt selle iidse mõttemaailma jälgi. Babüloonia matemaatika aitab mõista, kuidas inimesed on püüdnud maailma mõõta, korrastada ja seletada juba tuhandeid aastaid enne meie aega.
Kas sulle meeldis see artikkel? Jäta hinnang
Laadin...
