Paljude laste jaoks toimub esimene kokkupuude Vana-Egiptuse põneva maailmaga mitte ainult ajalootunnis, vaid ka matemaatikatunnis. Hieraatilised märgid, hieroglüüfid ja Egiptuse kunst pakuvad varakult aimu sellest, kui mitmekülgne see tsivilisatsioon oli.
Vaaraod ja jumalik sümboolika on üldiselt tuttavad, kuid sageli jääb tagaplaanile teadmine, kuidas matemaatika ja loodusteadused aitasid juba tuhandeid aastaid tagasi lahendada väga praktilisi ülesandeid eri maailma paikades.
Kas teadsid näiteks, et kuulus Pythagorase teoreem ei olnud sugugi Vana-Kreeka matemaatiku Pythagorase algne avastus? Sama seaduspära tunti juba varem nn egiptuse kolmnurga kaudu, mida kasutati maamõõtmises ja ehituses. Järgnevalt vaatame lähemalt selle erakordse tsivilisatsiooni matemaatika arengut, alustades arvusüsteemidest ja jõudes välja Rhindi papüüruseni.
Praktilistest probleemidest matemaatiliste lahendusteni Vana-Egiptuses
Muinas-Egiptuse tsivilisatsioon on tuntud oma muljetavaldavate ehitiste, olulise koha poolest maailmaloos ja ehk eelkõige mõju tõttu matemaatikale, mida kasutame tänapäevalgi. Kuidas jõudsid Vana-Egiptuse inimesed nii keerukate arvude ja arvutusviisideni? Vastus on üllatavalt praktiline. Nad püüdsid lihtsalt lahendada igapäevaelus ette tulnud probleeme.
Piisab, kui mõelda Giza püramiididele. Selliste ehitiste püstitamine rohkem kui 4500 aastat tagasi eeldas väga häid inseneriteadmisi. Kuigi egiptlased olid osavad ka meditsiinis, siis just matemaatika valdkonnas tehti avastusi, mille mõju ulatub tänasesse päeva.
Keerukad arvutused ja sümbolisüsteemid, sealhulgas hieraatiline kursiivkiri, ei tekkinud tühjalt kohalt. Suure ja hästi organiseeritud ühiskonna toimimiseks tuli lahendada hulk praktilisi ülesandeid. Mõtle, millised probleemid võisid Vana-Egiptuses igapäevaselt ette tulla. Näiteks:
- Niiluse üleujutused, mis hävitasid põllusaaki ja nihutasid maapiire,
- Ulatuslik halduskorraldus keeruka maksusüsteemi tõttu,
- Vajadus ühtlustada arvestus ja dokumenteerimine,
- Loendamise ja tehingute kirjapaneku süsteemi loomine laiaulatusliku kaubanduse jaoks.
Kuigi üks või isegi kõik need mured võivad tänapäeval tunduda meie jaoks võõrad, tasub meeles pidada, et egiptlased seisid nende keeruliste küsimustega esimest korda silmitsi.
Kui Vana-Egiptuse matemaatika mõistmine tundub keeruline, võib abiks olla ka pilk antiikaja kreeklaste matemaatika arengule, mis aitavad põhitõdesid selgemaks teha.
Vaatame nüüd lähemalt, kuidas egiptlased muutsid oma igapäevased väljakutsed lahendusteks, mida kasutatakse erineval kujul ka tänapäeval.
Egiptuse numbrid ja arvusüsteem
Selleks et mõista, kuidas Vana-Egiptuse ühiskond lõi oma loendamis- ja arvutussüsteemid, tasub alustada tänapäevase matemaatika põhialustest. Kas oskad öelda, millist arvusüsteemi me ise kasutame?
Meie tänapäevane arvusüsteem pärineb tegelikult Babülooniast ja seda nimetatakse positsiooniliseks süsteemiks. Nimi võib kõlada mõneti keeruliselt, kuid selle põhimõte on lihtne. See on ka põhjus, miks süsteem levis paljudesse maailma eri paikadesse ja on kasutusel ka tänapäeval.
Teistes kultuurides arenesid välja teistsugused lahendused. Hiina numbrisüsteem põhines samuti kümnendsüsteemil, kuid kasutas eraldi märke nii numbrite kui ka nende positsiooni tähistamiseks. Vana-Egiptuse numbrid seevastu ei olnud positsioonilised. Kasutati eraldi sümboleid ühtede, kümnete, sadade ja suuremate ühikute jaoks ning neid korrati vastavalt vajadusele.
Kuigi me ei mõtle sellele sageli, on ka meie numbrid lihtsalt sümbolid. Nn hindu-araabia numbrite süsteem koosneb kümnest märgist: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9. Positsioonilises süsteemis sõltub numbri väärtus selle asukohast. Näiteks arvu kümme kirjutame kujul 10, mitte 01, sest numbrite järjestus määrab tähenduse.
Egiptlased kasutasid samuti kümnendsüsteemi, mis tähendab, et arvutamise aluseks oli arv 10. Numbrid egiptuse hieroglüüfides võivad esmapilgul tunduda keerukad, kuid tegelikult koosnesid need selgetest ja korduvatest sümbolitest, millest igaüks tähistas kindlat arvu:
| Väärtus | Hieroglüüfi kirjeldus |
|---|---|
| 1 | Üksik tõmme (vertikaalne joon) |
| 10 | Kannaluu või karjakammits |
| 100 | Keerdus köis |
| 1000 | Lootoslill |
| 10000 | Osutav sõrm |
| 100000 | Konn või kulles |
Huvitaval kombel ei kasutanud positsioonilist süsteemi ka mõned teised vanad tsivilisatsioonid. Näiteks Vana-Hiina matemaatika pakub head võrdlusmaterjali, kuidas keerukaid arvutusi tehti ilma positsioonilise märgistuseta.
Rhindi papüürus
Kuigi teame üsna palju selle kohta, milliseid arvutusi ja tehteid Vana-Egiptuses kasutati, on märksa vähem selge, kuidas nende teadmisteni jõuti. Põhjuseks on asjaolu, et matemaatika arengut kirjeldavaid allikaid on säilinud väga vähe. Me tunneme hieraatiliste märkide tähendusi ning sümbolite, näiteks nn Egiptuse Silma ehk Horose silma rolli, kuid otseseid kirjeldusi matemaatiliste avastuste kujunemisest napib.
Oma osa mängib siin allikate suur vanus, aga ka ajaloolised sündmused. Arvatakse, et märkimisväärne hulk teaduslikke ja matemaatilisi tekste hävis, kui Julius Caesar andis 48. aastal eKr oma sõduritele korralduse Aleksandria sadamas olnud Egiptuse laevad süüdata. Tuli levis sadamaalast kaugemale ning hävitas suure osa Aleksandria raamatukogust, koos seal talletatud teadmistega.
Üheks oluliseks erandiks on Rhindi papüürus. Selle dokumendi avastas 19. sajandil Šoti egüptoloog Henry Rhind ning tegemist on ühe vähestest säilinud Vana-Egiptuse matemaatikatekstidest. Papüürus sisaldab ligikaudu 84–87 arvutusülesannet, mis olid suunatud igapäevaelu praktiliste probleemide lahendamisele.
Ülesanded varieeruvad lihtsatest keerukamateni. Näiteks käsitletakse seal leiva jagamist inimeste vahel. Ühes ülesandes uuritakse, kuidas jagada üks leib kümne inimese vahel, järgmistes aga olukordi, kus leibu on kaks, kuus või rohkem. See annab selge pildi sellest, kui tihedalt oli Vana-Egiptuse matemaatika seotud igapäevaste vajadustega.
Murrud ja valemid hieroglüüfidena
Veel üks oluline teema, mida Rhindi papüürus käsitleb, on murrud. Vana-Egiptuse matemaatikas eelistati lähenemist, mis sarnaneb tänapäevasele taandamisele. Kõik murrud teisendati nn ühikmurdudeks ning lugejaks oli alati arv 1. Näiteks murd 3/5 esitati järgmiselt: 1/2 + 1/10.
See kuulus dokument sisaldab mitmeid juhiseid ja näiteid selle kohta, kuidas selliseid teisendusi teha. Teisedki allikad, näiteks Moskva papüürus, pakuvad lisateavet egiptlaste arvutusoskuste kohta. Seal käsitletakse muu hulgas püramiidide ja ringide ruumala arvutamist ning isegi pii murdarvulise ligikaudse väärtuse kasutamist.
Peaaegu kõik Vana-Egiptuse murrud olid ühikmurrud, ainsaks erandiks oli murd 2/3, millel oli eraldi tähistus. Erinevate murdude tähistamiseks kasutati nii hieroglüüfe kui ka hieraatilisi märke. Heaks näiteks on Horose silm, mille eri osad sümboliseerisid konkreetseid ühikmurde.
| Murd | Sümbol |
|---|---|
| 1/2 | silma parem osa |
| 1/4 | silma pupill |
| 1/8 | kulm |
| 1/16 | silma vasak osa |
Need näited illustreerivad selgelt, kui leidlikult sidusid Muinas-Egiptuse matemaatikud sümboolika ja arvutamise. Iidsete tsivilisatsioonide arvusüsteemid pakuvad ka tänapäeval väärtuslikku sissevaadet matemaatilise mõtlemise kujunemisse.
Egiptuse kolmnurk
Üks huvitav, kuid sageli vähem teadvustatud fakt Vana-Egiptuse kohta on see, et nad kasutasid juba varakult matemaatilist lahendust, mis on paljudele tuttav ka tänapäeval. Teeme väikese harjutuse. Millest võiks jutt käia?
- Tegu on kolmnurga kujulise lahendusega.
- Selle abil saab määrata nurkade ja külgede vahelisi seoseid.
- Sageli seostatakse seda avastust hoopis Vana-Kreekaga.
Kui pakkusid, et jutt käib Pythagorase teoreemist, siis oled õigel teel. Egiptlased kasutasid juba ammu enne Pythagorast ligikaudset seost, mida võib pidada selle teoreemi praktiliseks eelkäijaks. Pythagorase teoreem seostub tavaliselt umbes 500. aastaga eKr, kuid puuduvad kindlad tõendid selle kohta, kui laialdaselt see teadmine tol ajal levinud oli.
3:4:5 kolmnurk ja selle kasutus
Küll on aga hästi teada, et Vana-Egiptuse ehitajad kasutasid igapäevases praktikas nn 3:4:5 kolmnurka. See ongi egiptuse kolmnurk, mis võimaldas neil rajada püramiide ja muid keerukaid ehitisi suure täpsusega. See viitab väga headele insenerioskustele ja praktilisele matemaatilisele mõtlemisele.
3:4:5 kolmnurk on täisnurkne kolmnurk. Selle eripära seisneb selles, et olenemata mõõtühikust, olgu selleks sentimeetrid, meetrid või muud ühikud, tuleb külgede pikkused alati hoida samas suhtes. Kui üks külg on 3 ühikut, teine 4 ja kolmas 5, moodustub alati täisnurk. See seos on tuttav kõigile, kes on kokku puutunud Pythagorase teoreemiga.
| Külje suhe | Kolmnurga osa |
|---|---|
| 3 | Alus |
| 4 | Kõrgus |
| 5 | Hüpotenuus |
Selle kujundi suur eelis seisnes selles, et kõik küljed olid täisarvud. See oli Vana-Egiptuse arvusüsteemi puhul eriti oluline, sest murdarvudega arvutamine oli tol ajal keerukas ja aeganõudev. Täisarvulised suhted muutsid mõõtmise ja ehitamise märksa lihtsamaks ja usaldusväärsemaks.
Huvitav on võrrelda egiptlaste lähenemist babüloonlaste omaga. Babüloonia matemaatikud kasutasid seksagesimaalsüsteemi, mis võimaldas murde ja jagamisi palju täpsemalt esitada. See sobis hästi näiteks astronoomiasse ja kaubandusse. Võrdlus näitab selgelt, kui määrav roll oli arvusüsteemil matemaatika arengus ning miks geomeetrilised lahendused, mis tuginesid täisarvudele, olid Vana-Egiptuses nii väärtuslikud.
Kuidas muinas-egiptlased köite abil mõõtsid
Täisnurksed kolmnurgad on matemaatikas erilise tähtsusega. Kui kolmnurga üks nurk on 90 kraadi, siis ülejäänud kahe teravnurga summa on alati 90 kraadi. Seega näiteks kui on teada ühe teravnurga suurus ja kahe külje pikkused, saab määrata kogu kolmnurga kuju ja mõõtmed.
Allikad viitavad ka sellele, et egiptlased võtsid mõõtmisel appi köied. Neisse seoti 12 sõlme, mille abil sai lihtsal viisil moodustada täisnurkse kolmnurga. Köis asetati maapinnale nii, et see moodustas 3, 4 ja 5 sõlmega küljed.
| Sõlmede arv | Kolmnurga osa |
|---|---|
| 3 sõlme | Alus |
| 4 sõlme | Kõrgus |
| 5 sõlme | Hüpotenuus |
See praktiline meetod näitab selgelt, kuidas Vana-Egiptuse matemaatika oli tihedalt seotud igapäevaste vajaduste, ehituse ja maamõõtmisega ning miks egiptuse kolmnurk on tänaseni matemaatika ajaloo oluline osa.
Mida Vana-Egiptuse matemaatika meile õpetab
Vana-Egiptuse matemaatika ei kujunenud abstraktsete teooriate otsingul, vaid väga praktilistest vajadustest. Ühiskond vajas viise, kuidas mõõta maad pärast Niiluse üleujutusi, jagada toitu ja ressursse, pidada arvestust maksude ning kaubanduse üle ning rajada püsivaid ja täpseid ehitisi.
Sellistest ja muudest igapäevastest probleemidest kasvasid välja arvusüsteemid, murrud ja geomeetrilised lahendused, mille mõju ulatub tänasesse päeva.
Egiptuse numbrid, Rhindi papüürus ja ühikmurdude kasutamine näitavad selgelt, et matemaatika oli Vana-Egiptuses eelkõige tööriist, mitte teadus või eesmärk omaette. Sama kehtib ka egiptuse kolmnurga kohta, mis võimaldas täpset mõõtmist ja ehitamist ilma keerukate arvutusteta. Täisarvudele tuginevad suhted ning visuaalsed sümbolid muutsid matemaatika kättesaadavaks ja kasutatavaks ka väljaspool kitsast haritlaste ringi.
Vana-Egiptuse matemaatikat uurides avaneb pilt tsivilisatsioonist, kus loogiline mõtlemine, praktiline kogemus ja sümbolite kasutamine moodustasid ühtse terviku. See omakorda tuletab meelde, et matemaatiline mõtlemine on inimkonna ühine pärand, mis on kujunenud eri kultuurides vastavalt nende vajadustele ja võimalustele ning mille arengulugu aitab paremini mõista ka tänapäevast matemaatikat.
Kas sulle meeldis see artikkel? Jäta hinnang
Laadin...
